C'est le blog de la DreamTeamMP, c'est à dire un groupe d'amis de Classe préparatoire qui ne se sont pas perdus de vue après les concours. C'est notre vie, nos vies, nos envies et notre blog.
On se place dans une conception humaniste où l’on suppose que les hommes créent des concepts universels intelligibles par tous : nous pouvons communiquer tout en étant rassuré par la certitude que nous sommes capables de nous comprendre (un langage de sourds serait malvenu dans une discussion mathématique).
Préliminaires : nous supposons connues les notions basiques de relation, de collection, d’affirmation, de vérité, de théorie...
On se place naturellement dans un modèle inclus dans la théorie de Zermelo-Fraenkel (la collection des ensembles munie de la relation d’appartenance et des axiomes ZF). On rappelle qu’un ordinal est un ensemble bien ordonné par la relation appartenance telle que celle ci soit un ordre strict et tel que tout élément de cet ordinal y soit inclus (l’ensemble vide est donc évidemment un ordinal, on le notera 0). Si α est un ordinal alors αU{α} est le plus petit ordinal incluant α. Un ordinal fini est un ordinal tel que tout élément inférieur admette un prédécesseur. On appelle IN l’ensemble des ordinaux finis.
On appelle Z le quotient de INxIN par la relation d’équivalence (m,n) équivalent à (m’,n’), (m, n, m’, n’ ∈ IN) si et seulement si m+n’=n+m’ (on remarque que tous élément est équivalent à (k,0) noté k ou (0,k) noté -k, k∈IN).
On appelle Q le quotient de ZxIN* par la relation d’équivalence mn’=m’n (rappel : mn’ est le plus petit ordinal en bijection avec mxn’ : produit cartésien de m et n’)
Nous laisserons le soin au lecteur de réviser ses cours de collège sur la définition de l’addition et du produit des rationnels qui munissent Q d’une structure de corps, donc d’anneau intégre.
Résultat fondamental : 1 - 1/3 = 2/3
Démonstration : démerdez-vous
Petite indication quand même : par définition 1 = 1/1 (on vérifie facilement que c’est aussi 3/3... à vous de jouer !)
Il en découle alors immédiatement un résultat intéressant sur les probabilités :
Imaginez un jeu télévisé où il y a trois portes numérotées de 1 à 3 et où le candidat doit choisir celle qui cache la voiture pour gagner (on suppose unicité de la porte). L’animateur demande alors au candidat de choisir une porte.
On suppose bien sûr que le candidat et l’animateur existent et qu’il n’y a pas d’essence dans le réservoir de la voiture (bien que ceci ne soit pas de grande utilité pour la résolution du problème). On suppose que le candidat veut gagner et que, bien qu’il soit probable qu’une telle émission soit diffusée sur TF1, l’animateur soit suffisamment intelligent pour suivre les instructions données par la régie (dont l’existence est aussi supposée).
Alors que le candidat a choisit la porte 1, l’animateur (qui sait où est la voiture) ouvre une porte (bien huilée) différente de la numéro 1 et derrière laquelle il n’y a pas de voiture. Au bout d’une minute de profonde réflexion, l’animateur, enfin convaincu que cette porte convient, décide d’ouvrir la porte 3. Le candidat sait donc maintenant que la voiture est derrière la porte 1 ou 2. Il a alors droit de changer son choix ou bien de conserver son choix initial. Figurez-vous que malgré les apparences, le candidat a tout intérêt de choisir la porte 2 ! Auquel cas, il aura deux fois plus de chances de gagner !
Explication :
- la probabilité pour que la voiture soit derrière la porte 1 est de 1/3 car le fait que l’animateur ait choisit la porte 3 ne change rien à la probabilité que la voiture soit cachée derrière la porte 1. Pour le justifier, étudions l’événement (v=i,a=j) (la voiture est derrière la porte i et l’animateur a choisit la porte j) ; on a P(v=1)=(P(v=1, a=2)+(P(v=1, a=3)= 1/3x1/2 + 1/3x1/2 = 1/3. Mais il est plus rigoureux et moins con de dire “‘c’est évident !” : le choix de la porte 1 ayant était fait par le candidat sans aucune connaissance sur la localisation de la voiture, la probabilité pour que la voiture soit en 1 est de 1/3 et le choix de l’animateur est parfaitement indépendant de l’événement “la voiture est en 1”.
- On a “la voiture est derrière la porte 1” ou bien “la voiture est derrière la porte 2” : ce sont 2 événements disjoints (Shrek, s’il-te-plaît, ne dis pas “sjoints” ; Shrek, s’il-te-plaît, ne dis pas “pas sjoints” ; Shrek, s’il-te-plaît, ne dis pas “pas pas sjoints”, ...). Donc la somme de la probabilité pour que la voiture soit derrière la porte 1 et de la probabilité pour que la voiture soit derrière la porte 2 vaut 1. Autrement écrit : “la probabilité pour que la voiture soit derrière la porte 2” + 1/3 = 1.
- Utilisons la commodité calculatoire de la structure de groupe de Q (obtenue artificiellement) héritée de la structure de groupe de Z : on rajoute -1/3 des deux côtés de l’égalité. Donc la probabilité pour que la voiture soit derrière la porte 2 est égale à 1 - 1/3.
Vous l’avez compris, il est temps d’utiliser le grandissime résultat fondamental, démontré aux préliminaires : 1 - 1/3 = 2/3 !!!!
Conclusion : il est deux fois plus probable que la voiture se trouve derrière la porte 2 plutôt que derrière la porte 1.
Limites du raisonnement :
- on a supposé que l’animateur était suffisamment intelligent pour remplir sa fonction.
- on a supposé qu’il n’y avait pas d’essence dans le réservoir de la voiture.
- c’est moi qui l’ai fait.
Limite de l’intérêt de cet article :
- Il est très peu probable qu’un candidat à une émission aussi débile ait fait ce raisonnement s’il a été sélectionné par Télé-vieux euh... TF1.
Limite de x --> 1/x :
- 0 quand x tend vers +∞.
Antonin
Proposition du problème : Shrek
Rédaction : Gérard
Assistant technique : JF
Roses des sables : a pu
Indiana : ta gueule ! (on rigole (on rigole))
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