La démo du lemme Chinois, à la demande de Gérard

Un bref rappel du lemme: Soit  u1,...,uN  appartenant à Z (les entiers relatifs), premiers entres eux. Soient a1,...,aN appartenant à Z. Il existe alors m appartenant à Z tel que m soit congru à ai modulo ui, pour tout i appartenant à [1,N].


Preuve: Soit u=u1*u2*...*uN=produit pour i variant de 1 à N des ui , soit s une application :Z/(uZ) -> produit pour i variant de 1 à N des Z/(uiZ)    et qui à [k](indice u) associe ( [k](indice u1) , [k](indice u2) , ... , [k](indice uN) )

[k](indice u) signifie la classe de k dans Z/(uZ)

Cette application est bien définie car ui divise u pour tout i appartenant à [1,N]. C'est un morphisme de groupe par définition. s est injective car si k divise les ui, alors k est divisible par leur produit u car les ui sont premiers entre eux.
Mais Card( Z/(uZ) ) = Card( u ) = Card ( produit pour i variant de 1 à N des Z/(uiZ) ) donc s est surjective.
Ceci démontre le lemme.


En bonus, je vous informe d'un Corrollaire: Soit G un groupe abélien fini, soit m le ppcm des ordres de ses éléments , G contient un élément d'ordre m.



Voilà! A plus tard pour de nouveaux théorême plus farfelus les uns que les autres^^     

Shrek