PQ Partie 1

PQ  partie 1 : il y a 2 joueurs, le principe consiste à aligner 15 objets identiques idéalement des allumettes mais si vous n’en avez pas, je vous recommande des rouleaux de PQ (voir article précédent).

Chaque joueur prend à son tour 1, 2 ou 3 objets et celui qui prend le dernier objet restant a perdu. Nous avons montré que le joueur qui commence gagne . En fait, la démarche est simple : peut-on contrôler le nombre d’allumettes que va prendre l’adversaire ?Non, mais on peut s’arranger pour que le nombre d’allumettes pris par l’adversaire et par soi soit constant : quelque soit le nombre d’allumettes pris par l’adversaire, on peut le compléter pour en obtenir 4.            1+3=2+2=3+1=4.  Raisonnons par la fin.

Considérons que 1 commence. Son but est que 2 prenne le dernier objet. On s’occupe alors des 14 objets restants. On a montré que ce jeu mettait en évidence des paquets de 4 . On effectue la division euclidienne de 14 par 4 : 14=3 fois 4 +2. Il y a donc 3 paquets de 4 et 2 restants .1 prends ces 2 objets. 2 commence un paquet de 4 et 1 complète et le finit ; on continue ainsi de suite jusqu’au 3 ème paquet de 4. 2 commence le dernier paquet de 4, 1 le finit et c’est au tour de 2 de jouer et il ne reste plus qu’un objet. En effet, le joueur 1 a pris les 2 premiers, puis le joueur 2 suivi du 1 jouent a tour de rôle et retirent les 3 paquets de 4 sachant que c’est le joueur 1 qui finit chaque paquets de 4 pour que lorsqu’il n’y ait plus de paquets de 4, c’est au tour de 2 de jouer et il ne reste plus que 15-(2 + 4 fois 3)=1 objet .         CQFD 

Récapitulons : 1 commence et prend 2 objets

2 prend A objet(s), 1 prend 4-A objet(s)

2 prend B objet(s), 1 prend 4-B objet(s)

2 prend C objet(s), 1 prend 4-C objet(s)

2 prend le dernier objet.

On aurait probablement pu se contenter de cette dernière formulation mais je tenais à montrer la démarche employée et à montrer que cela n’était pas tombé du ciel…..

Shrek